Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 x^{2} + 8 x - 11$ y $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 8 x - 11 = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$3 x^{2} + 8 (x) - 11 = 0$

Paso 3.1.1.2

Reescribe $8$ como $- 3$ más $11$

$3 x^{2} + (- 3 + 11) x - 11 = 0$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 11 x - 11 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 3 x) + 11 x - 11 = 0$

Paso 3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 11) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 11 = 0$

Paso 3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.4

Establece $3 x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $3 x + 11$ igual a $0$ .

$3 x + 11 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $3 x + 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 11$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 11$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 11$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 11}{3}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{11}{3}$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (3 x + 11) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{11}{3}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ en $x = 1$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Paso 4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 11$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 \cdot 1 + 11$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 + 11$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$f (1) = 5 - 11 + 11$

Paso 4.2.2.2

Resta $11$ de $5$ .

$f (1) = - 6 + 11$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 6$ y $11$ .

$f (1) = 5$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ en $x = - \frac{11}{3}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{11}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{11}{3}) = {(- \frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{11^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{11^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.3

Eleva $11$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{11}{3})}^{2}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (1 (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $\frac{11^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{11^{2}}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.8

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{9}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.10

Multiplica $4 (\frac{121}{9})$ .

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Paso 5.2.1.10.1

Combina $4$ y $\frac{121}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{4 \cdot 121}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.10.2

Multiplica $4$ por $121$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.11

Multiplica $- 11 (- \frac{11}{3})$ .

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Paso 5.2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + 11 (\frac{11}{3}) + 11$

Paso 5.2.1.11.2

Combina $11$ y $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{11 \cdot 11}{3} + 11$

Paso 5.2.1.11.3

Multiplica $11$ por $11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{121}{3} + 11$

Paso 5.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $\frac{484}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{121}{3} + 11$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $\frac{484}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} + 11$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $\frac{121}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} \cdot \frac{9}{9} + 11$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $\frac{121}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 11$

Paso 5.2.2.5

Escribe $11$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1}$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $\frac{11}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $\frac{11}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{27} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 484 \cdot 3 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $484$ por $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $121$ por $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 11 \cdot 27}{27}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $11$ por $27$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 297}{27}$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 1331$ y $1452$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{121 + 1089 + 297}{27}$

Paso 5.2.5.2

Suma $121$ y $1089$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1210 + 297}{27}$

Paso 5.2.5.3

Suma $1210$ y $297$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1507}{27}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{1507}{27}$ .

$\frac{1507}{27}$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ son $y = 5, y = \frac{1507}{27}$ .

$y = 5, y = \frac{1507}{27}$

Paso 7