Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} + 8 e^{x}$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{4} + 8 e^{x}$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 8 e^{x}$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 0.92547892$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} + 8 e^{x}$ en $x = - 0.92547892$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.92547892$ en la expresión.

$f (- 0.92547892) = {(- 0.92547892)}^{4} + 8 e^{- 0.92547892}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 0.92547892$ a la potencia de $4$ .

$f (- 0.92547892) = 0.73361151 + 8 e^{- 0.92547892}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.92547892) = 0.73361151 + 8 (\frac{1}{e^{0.92547892}})$

Paso 4.2.1.3

Combina $8$ y $\frac{1}{e^{0.92547892}}$ .

$f (- 0.92547892) = 0.73361151 + \frac{8}{e^{0.92547892}}$

Paso 4.2.2

Suma $0.73361151$ y $\frac{8}{e^{0.92547892}}$ .

$f (- 0.92547892) = 3.90434395$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $3.90434395$ .

$3.90434395$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x^{4} + 8 e^{x}$ es $y = 3.90434395$ .

$y = 3.90434395$

Paso 6