Cálculo Ejemplos

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

Paso 1.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.3

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = - 1$ y $c = 4 x - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $4$ por $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $- 20$ por $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4.1.6

Suma $1$ y $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $4$ por $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.1.5

Multiplica $- 20$ por $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.1.6

Suma $1$ y $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 1.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $4$ por $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.6.1.5

Multiplica $- 20$ por $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.6.1.6

Suma $1$ y $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 1.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 1.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5 y^{2} - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 + 10 y y' - y'$

Paso 3.2.5

Reordena los términos.

$10 y y' + 4 - y'$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$10 y y' - y' = - 4$

Paso 3.5.2

Factoriza $y'$ de $10 y y' - y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Factoriza $y'$ de $10 y y'$ .

$y' (10 y) - y' = - 4$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (10 y - 1) = - 4$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y' (10 y - 1) = - 4$ por $10 y - 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y' (10 y - 1) = - 4$ por $10 y - 1$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $10 y - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 4.2

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 5

No se obtiene ninguna solución al hacer que la derivada sea igual a $0$ , $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ , por lo que no hay tangentes horizontales.

No se obtuvieron rectas tangentes horizontales

Paso 6