Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} = 9$ , $(- 1, - 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = - 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Paso 1.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Paso 1.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Paso 1.5.2.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.5.2.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Paso 1.5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.2.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.5.2.3.3.1

Factoriza $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Paso 1.5.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Paso 1.5.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x}$

Paso 1.5.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Paso 1.7

Evalúa $x = - 1$ y $y = - 3$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$- \frac{y}{- 1}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $- 3$ en la expresión.

$- \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.7.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$- 1 \cdot 3$

Paso 1.7.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3$

Paso 2

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Toma el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente para obtener la pendiente de la recta normal.

$\frac{1}{3}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{1}{3}$ y un punto dado $(- 1, - 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 3 = \frac{1}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 3 = \frac{1}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y + 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$y + 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 - 3 \cdot 3}{3}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 - 9}{3}$

Paso 3.3.2.5.2

Resta $9$ de $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Paso 4