Cálculo Ejemplos

$y = x - x^{2}$ , $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 x$

Paso 1.3

Reordena los términos.

$- 2 x + 1$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 1$

Paso 2

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Toma el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente para obtener la pendiente de la recta normal.

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$y = x - 1$

Paso 4