Cálculo Ejemplos

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (π x + y)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x + y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Paso 1.3.3

Diferencia.

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Paso 1.3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $π x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.3.3.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.1.1

Simplifica $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

Paso 1.5.1.1.2

Reordena los factores en $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

Paso 1.5.2

Resta $3 y' \cos (π x + y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Paso 1.5.3

Factoriza $y'$ de $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ por $1 - 3 \cos (π x + y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ por $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Paso 1.7.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Paso 1.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.7.4.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.7.4.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.7.4.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.7.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.7.4.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

Paso 1.7.5.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

Paso 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

Paso 1.7.5.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

Paso 1.7.5.5

Multiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.7.5.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

Paso 1.7.5.5.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

Paso 1.7.5.6

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Paso 1.7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 π}{4}$

Paso 2

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Toma el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente para obtener la pendiente de la recta normal.

$\frac{4}{3 π}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{4}{3 π}$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Paso 3.3.2.2

Combina $\frac{4}{3 π}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Combina $\frac{4}{3 π}$ y $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

Paso 3.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

Paso 4