Cálculo Ejemplos

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{7 π}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x y + π \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π \sin (y)$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Paso 1.2.4.2

Reordena los términos.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Paso 1.3

Como $83 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $83 π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.1.1

Reordena los factores en $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Paso 1.5.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Paso 1.5.3

Factoriza $y'$ de $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y'$ de $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y'$ de $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ por $6 x + π \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ por $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $6 x + π \cos (y)$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 4$ y $y = \frac{7 π}{2}$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $\frac{7 π}{2}$ en la expresión.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Paso 1.7.3

Combina $6$ y $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Paso 1.7.4.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Paso 1.7.4.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Paso 1.7.4.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Paso 1.7.4.5

Multiplica $π$ por $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Paso 1.7.4.6

Suma $24$ y $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Paso 1.7.5

Multiplica $6$ por $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Paso 1.7.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.6.1

Reduce la expresión $\frac{42 π}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.6.1.1

Factoriza $2$ de $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Paso 1.7.6.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Paso 1.7.6.1.3

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Paso 1.7.6.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Paso 1.7.6.2

Divide $21 π$ por $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Paso 1.7.7

Cancela el factor común de $21$ y $24$ .

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Paso 1.7.7.1

Factoriza $3$ de $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Paso 1.7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.7.2.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Paso 1.7.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Paso 1.7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{7 π}{8}$

Paso 2

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Toma el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente para obtener la pendiente de la recta normal.

$\frac{8}{7 π}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{8}{7 π}$ y un punto dado $(4, \frac{7 π}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{8}{7 π}$ y $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Combina $\frac{8}{7 π}$ y $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Paso 3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{7 π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Para escribir $- \frac{32}{7 π}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Paso 3.3.3.2

Para escribir $\frac{7 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Paso 3.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $14 π$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Multiplica $\frac{32}{7 π}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Paso 3.3.3.3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Paso 3.3.3.3.3

Multiplica $\frac{7 π}{2}$ por $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Paso 3.3.3.3.4

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Paso 3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Paso 3.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.5.1

Multiplica $- 32$ por $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.3

Multiplica $49 π π$ .

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Paso 3.3.3.5.3.1

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.3.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.4

Reescribe $- 64 + 49 π^{2}$ en forma factorizada.

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Paso 3.3.3.5.4.1

Reescribe $49 π^{2}$ como ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.4.3

Reordena $- 8^{2}$ y ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Paso 3.3.3.5.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 7 π$ y $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Paso 3.3.3.6

Reordena los términos.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Paso 4