Cálculo Ejemplos

${(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Paso 1

Escribe ${(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como una ecuación.

$y = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 10 x - 4$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 7.3

Mueve ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 9

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 11

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 12

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Suma $10$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.3

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Simplifica el denominador.

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Paso 16.1

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2

Resta $4$ de $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 16.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 16.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4^{1}}$

Paso 16.6

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4}$