Cálculo Ejemplos

$36 x^{2} + 25 y^{2} + 360 x - 300 y + 900 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $900$ de ambos lados de la ecuación.

$36 x^{2} + 25 y^{2} + 360 x - 300 y = - 900$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $36 x^{2} + 360 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 36$

$b = 360$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{360}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $360$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $360$ .

$d = \frac{2 \cdot 180}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot 180}{2 (36)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 180}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{180}{36}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $180$ y $36$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $36$ de $180$ .

$d = \frac{36 \cdot 5}{36}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot 5}{36 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{36 \cdot 5}{36 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$d = 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{360^{2}}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $360$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{129600}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{129600}{144}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $129600$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 900$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $900$ .

$e = 0 - 900$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $900$ de $0$ .

$e = - 900$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $36 {(x + 5)}^{2} - 900$ .

$36 {(x + 5)}^{2} - 900$

Paso 1.3

Sustituye $36 {(x + 5)}^{2} - 900$ por $36 x^{2} + 360 x$ en la ecuación $36 x^{2} + 25 y^{2} + 360 x - 300 y = - 900$ .

$36 {(x + 5)}^{2} - 900 + 25 y^{2} - 300 y = - 900$

Paso 1.4

Mueve $- 900$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $900$ a ambos lados.

$36 {(x + 5)}^{2} + 25 y^{2} - 300 y = - 900 + 900$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $25 y^{2} - 300 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = - 300$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 300}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 300$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 300$ .

$d = \frac{2 \cdot - 150}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 150}{2 (25)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 150}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 150}{25}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 150$ y $25$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $- 150$ .

$d = \frac{25 \cdot - 6}{25}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 6}{25 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot - 6}{25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 300)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 300$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{90000}{4 \cdot 25}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{90000}{100}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $90000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 900$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $900$ .

$e = 0 - 900$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $900$ de $0$ .

$e = - 900$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(y - 6)}^{2} - 900$ .

$25 {(y - 6)}^{2} - 900$

Paso 1.6

Sustituye $25 {(y - 6)}^{2} - 900$ por $25 y^{2} - 300 y$ en la ecuación $36 x^{2} + 25 y^{2} + 360 x - 300 y = - 900$ .

$36 {(x + 5)}^{2} + 25 {(y - 6)}^{2} - 900 = - 900 + 900$

Paso 1.7

Mueve $- 900$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $900$ a ambos lados.

$36 {(x + 5)}^{2} + 25 {(y - 6)}^{2} = - 900 + 900 + 900$

Paso 1.8

Simplifica $- 900 + 900 + 900$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 900$ y $900$ .

$36 {(x + 5)}^{2} + 25 {(y - 6)}^{2} = 0 + 900$

Paso 1.8.2

Suma $0$ y $900$ .

$36 {(x + 5)}^{2} + 25 {(y - 6)}^{2} = 900$

Paso 1.9

Divide cada término por $900$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{36 {(x + 5)}^{2}}{900} + \frac{25 {(y - 6)}^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{36} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 6$

$b = 5$

$k = 6$

$h = - 5$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 5, 6)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 - {(5)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 25}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{36 - 25}$

Paso 5.3.4

Resta $25$ de $36$ .

$\sqrt{11}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 5, 6 + 6)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(- 5, 12)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 5, 6 - (6))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 5, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 5, 12)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5, 12)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 5, 6 + \sqrt{11})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 5, 6 - (\sqrt{11}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(- 5, 6 - \sqrt{11})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 5, 6 + \sqrt{11})$

${Focus}_{2}$ : $(- 5, 6 - \sqrt{11})$

${Focus}_{1}$ : $(- 5, 6 + \sqrt{11})$

${Focus}_{2}$ : $(- 5, 6 - \sqrt{11})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}}{6}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 5^{2}}}{6}$

Paso 8.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 25}}{6}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{\sqrt{36 - 25}}{6}$

Paso 8.3.4

Resta $25$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{11}}{6}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(- 5, 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5, 12)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(- 5, 6 + \sqrt{11})$

${Focus}_{2}$ : $(- 5, 6 - \sqrt{11})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{11}}{6}$

Paso 10