Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 2.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 2.1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 2.1.1.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $2^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 + \infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 2.1.1.2.3

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 2.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Paso 2.1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Paso 2.1.1.3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $2^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - \infty}$

Paso 2.1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.1.3.3.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\frac{\infty}{1 + - \infty}$

Paso 2.1.1.3.3.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.1.3.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Paso 2.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 2^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.5

Suma $0$ y $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Paso 2.1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Paso 2.1.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - \frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Paso 2.1.3.8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - 2^{x} \ln (2)}$

Paso 2.1.3.9

Resta $2^{x} \ln (2)$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Paso 2.1.4

Reduce.

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común de $2^{x}$ .

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Paso 2.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Paso 2.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Paso 2.1.4.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Paso 2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1}$

Paso 2.1.4.2.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot 1$

Paso 2.2

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1

Evalúa el límite de $- 1 \cdot 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $2^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Paso 3.3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{5 + 0}{1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Paso 3.4

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $2^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 - 0}$

Paso 3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5}{1 - 0}$

Paso 3.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Paso 3.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5}{1}$

Paso 3.5.3

Divide $5$ por $1$ .

$5$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = - 1, 5$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = - 1, 5$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7