Cálculo Ejemplos

$y = 5 \csc (\frac{3}{2} x + \frac{π}{2}) - 2$

Paso 1

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$

Paso 2

Para cualquier $y = \csc (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ . Establece el interior de la función cosecante, $b x + c$ , para que $y = a \csc (b x + c) + d$ sea igual a $0$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2} = 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x}{2} = - \frac{π}{2}$

Paso 3.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$3 x = - π$

Paso 3.3

Divide cada término en $3 x = - π$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $3 x = - π$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- π}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 4

Establece el interior de la cosecante $\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}$ igual a $2 π$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2} = 2 π$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.1.5.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$3 x = 3 π$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 x = 3 π$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 x = 3 π$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3 π}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3 π}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 π}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{3}$

Paso 5.3.3.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Paso 6

El período básico de $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ se producirá en $(- \frac{π}{3}, π)$ , donde $- \frac{π}{3}$ y $π$ son asíntotas verticales.

$(- \frac{π}{3}, π)$

Paso 7

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 7.1

$\frac{3}{2}$ es aproximadamente $1.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Paso 7.3

Multiplica $2 π \frac{2}{3}$ .

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Paso 8

Las asíntotas verticales de $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ se producen en $- \frac{π}{3}$ , $π$ y en cada $x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$

Paso 9

La cosecante solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ donde $n$ es un número entero

Paso 10