Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.4.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.4.2.1

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $\ln^{2} (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.5

Multiplica $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.6.1

Combinar.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.6.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.6.3.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.6.3.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 1.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.9

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.10.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.2

Combina $\frac{\ln (x)}{x}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.3.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.4

Combina $x$ y $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.10.5.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.5.2

Divide $2 \ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.10.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.11

Simplifica.

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Paso 1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.11.2.1

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.11.2.2

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.11.2.3

Multiplica $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

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Paso 1.2.11.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.11.2.3.2

Multiplica $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.2.11.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 7.38905639$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $7.38905639$ en $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $7.38905639$ en la expresión.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

Paso 3.1.2.2

El logaritmo en base $2.71828182$ de $7.38905639$ es aproximadamente $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

Paso 3.1.2.3

Divide $7.38905639$ por $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $3.69452812$ .

$3.69452812$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $7.38905639$ en $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ es $(7.38905639, 3.69452812)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(7.38905639, 3.69452812)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 7.38905639)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $7.28905639$ en la expresión.

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $7.28905639$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $7.28905639$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Paso 5.2.2

Multiplica $7.28905639$ por $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.3

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.4

El logaritmo en base $2.71828182$ de $7.28905639$ es aproximadamente $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.5

Eleva $1.98637409$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.7

El logaritmo en base $2.71828182$ de $7.28905639$ es aproximadamente $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.8

Multiplica $- 1$ por $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.9

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.10

El logaritmo en base $2.71828182$ de $53.13034315$ es aproximadamente $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.11

Multiplica $- 1.98637409$ por $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.12

Resta $7.89136412$ de $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.13

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

Paso 5.2.14

El logaritmo en base $2.71828182$ de $53.13034315$ es aproximadamente $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

Paso 5.2.15

Suma $- 3.94568206$ y $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

Paso 5.2.16

Divide $0.02706613$ por $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

Paso 5.2.17

La respuesta final es $0.00023851$ .

$0.00023851$

Paso 5.3

En $7.28905639$ , la segunda derivada es $0.00023851$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 7.38905639)$ .

Incremento en $(- \infty, 7.38905639)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(7.38905639, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $7.48905639$ en la expresión.

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $7.48905639$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $7.48905639$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $7.48905639$ por $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.3

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.4

El logaritmo en base $2.71828182$ de $7.48905639$ es aproximadamente $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.5

Eleva $2.0134428$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.7

El logaritmo en base $2.71828182$ de $7.48905639$ es aproximadamente $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.8

Multiplica $- 1$ por $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.9

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.10

El logaritmo en base $2.71828182$ de $56.0859657$ es aproximadamente $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.11

Multiplica $- 2.0134428$ por $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.12

Resta $8.10790388$ de $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.13

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

Paso 6.2.14

El logaritmo en base $2.71828182$ de $56.0859657$ es aproximadamente $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

Paso 6.2.15

Suma $- 4.05395194$ y $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

Paso 6.2.16

Divide $- 0.02706632$ por $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

Paso 6.2.17

La respuesta final es $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

Paso 6.3

En $7.48905639$ , la segunda derivada es $- 0.00021991$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(7.38905639, \infty)$ .

Decrecimiento en $(7.38905639, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

Paso 8