Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Paso 1.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Paso 1.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5.5

Multiplica $4$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.5.7

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Paso 1.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 1.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 1.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 1.1.7

Diferencia.

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Paso 1.1.7.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.1.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.1.7.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Paso 1.1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.7.5.1

Suma $1$ y $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Paso 1.1.7.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.8.3

Multiplica $3$ por $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.8.4

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.8.4.1

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.1.8.4.2

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.4.3

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.5

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.6

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.7.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.7.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.7.2

Suma $x$ y $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.8.8.1

Expande $(x + 1) (2 x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.8.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.8.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2.1.4

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2.1.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.8.2.2

Suma $4 x$ y $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.9

Suma $2 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Paso 1.1.8.10

Suma $6 x$ y $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Paso 1.1.8.11

Suma $4$ y $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Paso 1.1.8.12

Expande $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.13.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.13.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.13.4.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.8.13.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.5

Mueve $16$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.7

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.13.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.8.13.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.8

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.13.10.1

Mueve $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.11

Multiplica $2$ por $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.12

Multiplica $16$ por $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.13

Multiplica $5 x^{2}$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.14

Multiplica $18 x$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Paso 1.1.8.13.15

Multiplica $16$ por $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Paso 1.1.8.14

Suma $18 x^{3}$ y $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Paso 1.1.8.15

Suma $16 x^{2}$ y $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Paso 1.1.8.16

Suma $52 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Paso 1.1.8.17

Suma $32 x$ y $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x^{3}$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $57$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $57 x^{2}$ con respecto a $x$ es $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $2$ por $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

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Paso 1.2.5.1

Como $50$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $50 x$ con respecto a $x$ es $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.5.3

Multiplica $50$ por $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.6.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ y $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2$ de $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $2$ de $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $2$ de $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Paso 2.2.1.7

Factoriza $2$ de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Paso 2.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Paso 2.2.2.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.5

Multiplica $42$ por $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.6

Suma $- 10$ y $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.7

Multiplica $57$ por $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.8

Resta $57$ de $32$ .

$- 25 + 25$

Paso 2.2.2.1.3.9

Suma $- 25$ y $25$ .

$0$

Paso 2.2.2.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Paso 2.2.2.1.5

Divide $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ por $x + 1$ .

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Paso 2.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Paso 2.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Paso 2.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Paso 2.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $32 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Paso 2.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Paso 2.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $32 x^{2} + 32 x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Paso 2.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Paso 2.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Paso 2.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $25 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Paso 2.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Paso 2.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $25 x + 25$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Paso 2.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Paso 2.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Paso 2.2.2.1.6

Escribe $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ como un conjunto de factores.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5

Establece $10 x^{2} + 32 x + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $10 x^{2} + 32 x + 25$ igual a $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 10$ , $b = 32$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Paso 2.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.4.5

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Paso 2.5.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Paso 2.5.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $32$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 40$ por $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Paso 2.5.2.5.3

Simplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.5.5

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Paso 2.5.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Paso 2.5.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $- 1$ en $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Paso 3.1.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

Paso 3.1.2.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

Paso 3.1.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

Paso 3.1.2.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (- 1) = 0$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ es $(- 1, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1.35505102$ en $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.35505102$ en la expresión.

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Suma $- 1.35505102$ y $1$ .

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Paso 3.3.2.2

Eleva $- 0.35505102$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Paso 3.3.2.3

Suma $- 1.35505102$ y $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

Paso 3.3.2.4

Eleva $0.64494897$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $- 0.04475816$ por $0.41595917$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $- 0.01861757$ .

$- 0.01861757$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1.35505102$ en $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ es $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

Paso 3.5

Sustituye $- 1.84494897$ en $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.84494897$ en la expresión.

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Suma $- 1.84494897$ y $1$ .

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Paso 3.5.2.2

Eleva $- 0.84494897$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Paso 3.5.2.3

Suma $- 1.84494897$ y $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

Paso 3.5.2.4

Eleva $0.15505102$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $- 0.60324183$ por $0.02404082$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

Paso 3.5.2.6

La respuesta final es $- 0.01450242$ .

$- 0.01450242$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1.84494897$ en $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ es $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1.84494897)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.94494897$ en la expresión.

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.94494897$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 7.35740454$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1.94494897$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $84$ por $3.78282651$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $- 147.1480909$ y $317.75742705$ .

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

Paso 5.2.2.2

Resta $221.72418306$ de $170.60933614$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

Paso 5.2.2.3

Suma $- 51.11484692$ y $50$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1.11484692$ .

$- 1.11484692$

Paso 5.3

En $- 1.94494897$ , la segunda derivada es $- 1.11484692$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1.84494897)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1.84494897)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.6$ en la expresión.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $84$ por $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $- 81.92$ y $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Paso 6.2.2.2

Resta $182.4$ de $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 49.28$ y $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.72$ .

$0.72$

Paso 6.3

En $- 1.6$ , la segunda derivada es $0.72$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ .

Incremento en $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.35505102, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.17752551$ en la expresión.

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1.17752551$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 1.63271723$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 1.17752551$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $84$ por $1.38656633$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Suma $- 32.65434465$ y $116.471572$ .

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

Paso 7.2.2.2

Resta $134.23790846$ de $83.81722735$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

Paso 7.2.2.3

Suma $- 50.42068111$ y $50$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.42068111$ .

$- 0.42068111$

Paso 7.3

En $- 1.17752551$ , la segunda derivada es $- 0.42068111$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1.35505102, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- 1.35505102, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.9$ en la expresión.

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $- 0.9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 0.729$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Paso 8.2.1.3

Eleva $- 0.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $84$ por $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $114$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Suma $- 14.58$ y $68.04$ .

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

Paso 8.2.2.2

Resta $102.6$ de $53.46$ .

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

Paso 8.2.2.3

Suma $- 49.14$ y $50$ .

$f'' (- 0.9) = 0.86$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.86$ .

$0.86$

Paso 8.3

En $- 0.9$ , la segunda derivada es $0.86$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ .

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

Paso 10