Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(4 - 2 x)}^{2}$ como $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

Paso 1.1.2

Expande $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

Paso 1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Paso 1.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Paso 1.1.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

Paso 1.1.3.2

Resta $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - 16 x + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.6

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

Paso 1.1.5.11

Mueve $2$ a la izquierda de $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

Paso 1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.6.4.1

Mueve $- 16$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.4.2.1

Mueve $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.3

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.4

Multiplica $2$ por $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.5

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

Paso 1.1.6.4.10

Multiplica $4$ por $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

Paso 1.1.6.4.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

Paso 1.1.6.4.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

Paso 1.1.6.4.13

Suma $1$ y $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

Paso 1.1.6.4.14

Resta $32 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

Paso 1.1.6.4.15

Suma $8 x^{3}$ y $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

Paso 1.1.6.5

Reordena los términos.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $32$ por $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $16$ de $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $16$ de $48 x^{2}$ .

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $16$ de $- 96 x$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $16$ de $32$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza $16$ de $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

Paso 2.2.5

Factoriza $16$ de $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ por $16$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ por $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 6 x + 2$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Paso 2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 6$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.3

Resta $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Paso 2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.3

Resta $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.7.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.3

Resta $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Paso 2.8.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1.57735026$ en $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.57735026$ en la expresión.

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $1.57735026$ a la potencia de $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

Paso 3.1.2.3

Resta $3.15470053$ de $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

Paso 3.1.2.4

Eleva $0.84529946$ a la potencia de $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

Paso 3.1.2.5

Multiplica $2.48803387$ por $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $1.77777777$ .

$1.77777777$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1.57735026$ en $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ es $(1.57735026, 1.77777777)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1.57735026, 1.77777777)$

Paso 3.3

Sustituye $0.42264973$ en $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.42264973$ en la expresión.

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Eleva $0.42264973$ a la potencia de $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

Paso 3.3.2.3

Resta $0.84529946$ de $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

Paso 3.3.2.4

Eleva $3.15470053$ a la potencia de $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $0.17863279$ por $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $1.77777777$ .

$1.77777777$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0.42264973$ en $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ es $(0.42264973, 1.77777777)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0.42264973, 1.77777777)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0.42264973)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.32264973$ en la expresión.

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $0.32264973$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $48$ por $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $30.97437415$ de $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 25.97743741$ y $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $6.02256258$ .

$6.02256258$

Paso 5.3

En $0.32264973$ , la segunda derivada es $6.02256258$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0.42264973)$ .

Incremento en $(- \infty, 0.42264973)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0.42264973, 1.57735026)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $48$ por $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $96$ de $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 48$ y $32$ .

$f'' (1) = - 16$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 16$ .

$- 16$

Paso 6.3

En $1$ , la segunda derivada es $- 16$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0.42264973, 1.57735026)$ .

Decrecimiento en $(0.42264973, 1.57735026)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1.57735026, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.67735026$ en la expresión.

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $1.67735026$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $48$ por $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 96$ por $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $161.02562584$ de $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 25.97743741$ y $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $6.02256258$ .

$6.02256258$

Paso 7.3

En $1.67735026$ , la segunda derivada es $6.02256258$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1.57735026, \infty)$ .

Incremento en $(1.57735026, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

Paso 9