Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 - 5 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Paso 1.1.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza $x {(2 - 5 x)}^{2}$ de $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Factoriza $x {(2 - 5 x)}^{2}$ de $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Paso 1.1.4.1.2

Factoriza $x {(2 - 5 x)}^{2}$ de $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.1.3

Factoriza $x {(2 - 5 x)}^{2}$ de $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.2

Mueve $- 15$ a la izquierda de $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.3

Reescribe ${(2 - 5 x)}^{2}$ como $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.4

Expande $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.5.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.1.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.1.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.5.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.7

Simplifica.

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Paso 1.1.4.7.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.8.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.8.1.1

Mueve $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.8.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.8.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.8.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.4.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.8.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Paso 1.1.4.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Paso 1.1.4.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Paso 1.1.4.9.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Paso 1.1.4.10

Resta $10 x$ de $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Paso 1.1.4.11

Expande $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.12.2.1

Mueve $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.3

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.12.6.1

Mueve $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.12.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.7

Multiplica $- 20$ por $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.8

Multiplica $4$ por $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.10

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.12.10.1

Mueve $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.10.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.1.4.12.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.10.3

Suma $1$ y $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.11

Multiplica $25$ por $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Paso 1.1.4.12.12

Multiplica $4$ por $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Paso 1.1.4.13

Resta $80 x^{2}$ de $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Paso 1.1.4.14

Suma $500 x^{3}$ y $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 180$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 180 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $- 625$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 625 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $4$ por $- 625$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Paso 1.2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Como $600$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $600 x^{3}$ con respecto a $x$ es $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Paso 1.2.5.3

Multiplica $3$ por $600$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Paso 1.2.6

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4$ de $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $4$ de $- 2500 x^{3}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4$ de $1800 x^{2}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4$ de $- 360 x$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $4$ de $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

Paso 2.2.1.7

Factoriza $4$ de $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Paso 2.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

Paso 2.2.2.1.3

Sustituye $0.4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Sustituye $0.4$ en el polinomio.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.2

Eleva $0.4$ a la potencia de $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.3

Multiplica $- 625$ por $0.064$ .

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.4

Eleva $0.4$ a la potencia de $2$ .

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.5

Multiplica $450$ por $0.16$ .

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.6

Suma $- 40$ y $72$ .

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.7

Multiplica $- 90$ por $0.4$ .

$32 - 36 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.8

Resta $36$ de $32$ .

$- 4 + 4$

Paso 2.2.2.1.3.9

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 2.2.2.1.4

Como $0.4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $5 x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

Paso 2.2.2.1.5

Divide $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ por $5 x - 2$ .

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Paso 2.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

Paso 2.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 625 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$ .

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

Paso 2.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Paso 2.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $200 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Paso 2.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

Paso 2.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $200 x^{2} - 80 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

Paso 2.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

Paso 2.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

Paso 2.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x + 4$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

Paso 2.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

Paso 2.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

Paso 2.2.2.1.6

Escribe $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ como un conjunto de factores.

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $5 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $5 x - 2$ igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $5 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 2$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Paso 2.5

Establece $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ igual a $0$ .

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = - 125$ , $b = 40$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $500$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $1000$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $600$ como $10^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.5.2.3.1.4.1

Factoriza $100$ de $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $500$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $1000$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $600$ como $10^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.5.2.4.1.4.1

Factoriza $100$ de $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Paso 2.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Paso 2.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $500$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $1000$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $600$ como $10^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.5.2.5.1.4.1

Factoriza $100$ de $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.1.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Paso 2.5.2.5.3

Simplifica $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Paso 2.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{2}{5}$ en $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

Paso 3.1.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

Paso 3.1.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

Paso 3.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

Paso 3.1.2.3.3

Multiplica $\frac{4}{25}$ por $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = 0$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2}{5}$ en $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ es $(\frac{2}{5}, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2}{5}, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $0.25797958$ en $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.25797958$ en la expresión.

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Eleva $0.25797958$ a la potencia de $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 5$ por $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

Paso 3.3.2.3

Resta $1.28989794$ de $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

Paso 3.3.2.4

Eleva $0.71010205$ a la potencia de $3$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $0.06655346$ por $0.35806535$ .

$f (0.25797958) = 0.02383049$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $0.02383049$ .

$0.02383049$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0.25797958$ en $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ es $(0.25797958, 0.02383049)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0.25797958, 0.02383049)$

Paso 3.5

Sustituye $0.06202041$ en $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.06202041$ en la expresión.

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Eleva $0.06202041$ a la potencia de $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 5$ por $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

Paso 3.5.2.3

Resta $0.31010205$ de $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

Paso 3.5.2.4

Eleva $1.68989794$ a la potencia de $3$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $0.00384653$ por $4.82593464$ .

$f (0.06202041) = 0.0185631$

Paso 3.5.2.6

La respuesta final es $0.0185631$ .

$0.0185631$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0.06202041$ en $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ es $(0.06202041, 0.0185631)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0.06202041, 0.0185631)$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0.06202041)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.03797958$ en la expresión.

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.03797958$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2500$ por $- 0.00005478$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 0.03797958$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $1800$ por $0.00144244$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 360$ por $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $0.13695907$ y $2.59640862$ .

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

Paso 5.2.2.2

Suma $2.73336769$ y $13.67265229$ .

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

Paso 5.2.2.3

Suma $16.40601999$ y $16$ .

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $32.40601999$ .

$32.40601999$

Paso 5.3

En $- 0.03797958$ , la segunda derivada es $32.40601999$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0.06202041)$ .

Incremento en $(- \infty, 0.06202041)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0.06202041, 0.25797958)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.15\overline{9}$ en la expresión.

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $0.15\overline{9}$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2500$ por $0.004096$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Paso 6.2.1.3

Eleva $0.15\overline{9}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $1800$ por $0.0256$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 360$ por $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $- 10.24$ y $46.08$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

Paso 6.2.2.2

Resta $57.6$ de $35.84$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 21.76$ y $16$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 5.76$ .

$- 5.76$

Paso 6.3

En $0.15\overline{9}$ , la segunda derivada es $- 5.76$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0.06202041, 0.25797958)$ .

Decrecimiento en $(0.06202041, 0.25797958)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0.25797958, \frac{2}{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.32898979$ en la expresión.

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $0.32898979$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2500$ por $0.03560797$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.32898979$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $1800$ por $0.10823428$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 360$ por $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Suma $- 89.01993814$ y $194.82171321$ .

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

Paso 7.2.2.2

Resta $118.43632614$ de $105.80177507$ .

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

Paso 7.2.2.3

Suma $- 12.63455107$ y $16$ .

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $3.36544892$ .

$3.36544892$

Paso 7.3

En $0.32898979$ , la segunda derivada es $3.36544892$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0.25797958, \frac{2}{5})$ .

Incremento en $(0.25797958, \frac{2}{5})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2}{5}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 2500$ por $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $1800$ por $0.25$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $- 360$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Suma $- 312.5$ y $450$ .

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

Paso 8.2.2.2

Resta $180$ de $137.5$ .

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

Paso 8.2.2.3

Suma $- 42.5$ y $16$ .

$f'' (0.5) = - 26.5$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 26.5$ .

$- 26.5$

Paso 8.3

En $0.5$ , la segunda derivada es $- 26.5$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{2}{5}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{2}{5}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ .

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

Paso 10