Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ ; $(- 1, - \frac{5}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = - \frac{5}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{3} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{5}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{3}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.6

Combina $\frac{- 10}{3}$ y $x$ .

$\frac{- 10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $- \frac{10 x}{3} + 2$ y $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- \frac{10 (- 1)}{3} + 2$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- \frac{- 10}{3} + 2$

Paso 1.6.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{10}{3} + 2$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $- - \frac{10}{3}$ .

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Paso 1.6.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{10}{3}) + 2$

Paso 1.6.1.3.2

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$\frac{10}{3} + 2$

Paso 1.6.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.6.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 1.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{10 + 6}{3}$

Paso 1.6.5.2

Suma $10$ y $6$ .

$\frac{16}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{16}{3}$ y un punto dado $(- 1, - \frac{5}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{5}{3}) = \frac{16}{3} \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{16}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} x + \frac{16}{3} \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{16}{3}$ y $x$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} \cdot 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $1$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $\frac{5}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{16 x + 16 - 5}{3}$

Paso 2.3.2.3

Resta $5$ de $16$ .

$y = \frac{16 x + 11}{3}$

Paso 2.3.2.4

Divide la fracción $\frac{16 x + 11}{3}$ en dos fracciones.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{11}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{16}{3} x + \frac{11}{3}$

Paso 3