Cálculo Ejemplos

$y = 2 x \cos (x)$ , $(π, - 2 π)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = π$ y $y = - 2 π$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Paso 1.4.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = π$ .

$- 2 π \sin (π) + 2 \cos (π)$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 π \sin (0) + 2 \cos (π)$

Paso 1.7.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 π \cdot 0 + 2 \cos (π)$

Paso 1.7.1.3

Multiplica $- 2 π \cdot 0$ .

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Paso 1.7.1.3.1

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$0 π + 2 \cos (π)$

Paso 1.7.1.3.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$0 + 2 \cos (π)$

Paso 1.7.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Paso 1.7.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.7.1.6

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.7.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Paso 1.7.1.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(π, - 2 π)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 π) = - 2 \cdot (x - (π))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 2 \cdot (x - π)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 2 π = 0 + 0 - 2 \cdot (x - π)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 2 π = - 2 x - 2 (- π)$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y + 2 π = - 2 x + 2 π$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $2 π$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 x + 2 π - 2 π$

Paso 2.3.2.2

Combina los términos opuestos en $- 2 x + 2 π - 2 π$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Resta $2 π$ de $2 π$ .

$y = - 2 x + 0$

Paso 2.3.2.2.2

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$y = - 2 x$

Paso 3