Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{x}$ , $(9, 27)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 9$ y $y = 27$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 1.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.9

Evalúa la derivada en $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10.1.2

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.10.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 1.10.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.10.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 1.10.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2}$

Paso 1.10.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + 1}}{2}$

Paso 1.10.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3^{2}}{2}$

Paso 1.10.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{9}{2}$ y un punto dado $(9, 27)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = \frac{9}{2} \cdot (x - (9))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{9}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 27 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 27 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{9}{2}$ y $x$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{9}{2} \cdot - 9$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{9}{2}$ y $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 9}{2}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 27 = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $27$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 27 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $27$ por $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 54}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 81$ y $54$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{2}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{27}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{27}{2}$

Paso 3