Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\frac{1}{5} x)$ ; $(5, \frac{π}{4})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = \frac{π}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{1}{5} x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Paso 1.2.3

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Paso 1.2.6

Multiplica $\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{5 (1 + \frac{x^{2}}{5^{2}})}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5 \cdot 1 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Paso 1.3.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{25}}$

Paso 1.3.3.3

Combina $5$ y $\frac{x^{2}}{25}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{25}}$

Paso 1.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 1.3.3.4.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 (x^{2})}{25}}$

Paso 1.3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.4.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Paso 1.3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Paso 1.3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5 + \frac{x^{2}}{5}}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5}$

Paso 1.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.5.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Paso 1.3.5.2

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Paso 1.3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Paso 1.3.5.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 25}{5}}$

Paso 1.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{5}{x^{2} + 25}$

Paso 1.3.7

Multiplica $\frac{5}{x^{2} + 25}$ por $1$ .

$\frac{5}{x^{2} + 25}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{25 + 25}$

Paso 1.5.1.2

Suma $25$ y $25$ .

$\frac{5}{50}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $5$ y $50$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{50}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $5$ de $50$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{10}$ y un punto dado $(5, \frac{π}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{10} \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{10} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{10}$ y $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 (2)} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 2 + π}{4}$

Paso 2.3.3.4

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $π$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

Paso 2.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

Paso 2.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x}{10} - \frac{2 - π}{4}$

Paso 2.3.3.8

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{10} x - \frac{2 - π}{4}$

Paso 3