Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 7}$ ; $(2, \frac{4}{9})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{4}{9}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} + 14 x$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Factoriza $x$ de $14 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 14$ .

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{(2) ((2) + 14)}{{((2) + 7)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $2$ y $14$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(2 + 7)}^{2}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.2.1

Suma $2$ y $7$ .

$\frac{2 \cdot 16}{9^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{81}$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{32}{81}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{32}{81}$ y un punto dado $(2, \frac{4}{9})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = \frac{32}{81} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{32}{81} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 + \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} x + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{32}{81}$ y $x$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{32}{81} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{32}{81}$ y $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32 \cdot - 2}{81}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $32$ por $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64}{81}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{4}{9}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{4}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $81$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{81}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 4 \cdot 9}{81}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 36}{81}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 64$ y $36$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 28}{81}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{28}{81}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{32}{81} x - \frac{28}{81}$

Paso 3