Cálculo Ejemplos

$y = arcsec (6 x)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ y $y = \frac{π}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arcsec (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $arcsec (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $6 (x)$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{6^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.4.1

Combina $6$ y $\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Paso 1.2.6

Multiplica $\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{6}) \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{\sqrt{2}}{6}$ y $\sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}{6}}$

Paso 1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{1}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.5

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 1.4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (2 - 1)}}{6}}$

Paso 1.4.2.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 \cdot 1}}{6}}$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{6}}$

Paso 1.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{6}{\sqrt{2}}$

Paso 1.4.5

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}}$

Paso 1.4.6

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.7.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.8

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.4.8.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 1.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 1.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Paso 1.4.8.2.4

Divide $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $3 \sqrt{2}$ y un punto dado $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{\sqrt{2}}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{6})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ al numerador.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Paso 2.3.1.4.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{3 (2)}$

Paso 2.3.1.4.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.1.5

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 2.3.1.6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Paso 2.3.1.7

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Paso 2.3.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 2.3.1.9

Suma $1$ y $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Paso 2.3.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.10.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.1.10.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 2.3.1.10.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 2.3.1.10.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 2.3.1.10.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.10.1.4.1

Cancela el factor común.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 2.3.1.10.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{1}}{2}$

Paso 2.3.1.10.1.5

Evalúa el exponente.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.1.10.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.1.10.3

Divide $- 2$ por $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x - 1$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3.2

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4 + π}{4}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 4 + π}{4}$

Paso 2.3.3.5

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) + π}{4}$

Paso 2.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $π$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) - 1 (- π)}{4}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - 1 (- π)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4 - π)}{4}$

Paso 2.3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 3 \sqrt{2} x - \frac{4 - π}{4}$

Paso 3