Cálculo Ejemplos

$x^{2} - y^{2} = 36$ , $(6, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 6$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (2 y y')$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x - 2 y y'$

Paso 1.2.3

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 2 x$

Paso 1.3

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' + 2 x = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' = - 2 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $- 2 y y' = - 2 x$ por $- 2 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $- 2 y y' = - 2 x$ por $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 6$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$\frac{6}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{6}{0}$

Paso 1.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 2

La pendiente de la recta es indefinida, lo que significa que es perpendicular al eje x en $x = 6$ .

$x = 6$

Paso 3