Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{4}, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - \frac{π}{4}$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 1.2

Evalúa la derivada en $x = - \frac{π}{4}$ .

$\sec^{2} (- \frac{π}{4})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sec^{2} (\frac{7 π}{4})$

Paso 1.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Paso 1.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Paso 1.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Paso 1.3.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Paso 1.3.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Paso 1.3.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 1.3.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.5.6.4.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 1.3.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Paso 1.3.5.6.5

Evalúa el exponente.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.6.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.3.6.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1}$

Paso 1.3.7.5

Evalúa el exponente.

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(- \frac{π}{4}, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 2 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = 2 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{π}{4}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y + 1 = 2 x + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x + \frac{π}{2} - 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x + \frac{π}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x + \frac{π}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 x + \frac{π - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = 2 x + \frac{π - 2}{2}$

Paso 3