Cálculo Ejemplos

$y = {(3 x - 1)}^{- 6}$ , $(0, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 6}$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 6$ .

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + 0)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \cdot 3$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$- 18 {(3 x - 1)}^{- 7}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Paso 1.3.2

Combina $- 18$ y $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- \frac{18}{{(3 (0) - 1)}^{7}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{18}{{(0 - 1)}^{7}}$

Paso 1.5.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{18}{{(- 1)}^{7}}$

Paso 1.5.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$- \frac{18}{- 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.2.1

Divide $18$ por $- 1$ .

$- - 18$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

$18$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $18$ y un punto dado $(0, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 18 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 18 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 1 = 18 x$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 18 x + 1$

Paso 3