Cálculo Ejemplos

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{π}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Paso 1.2.5.2

Reordena los términos.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Paso 1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Paso 1.5.2

Resta $\cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.2.3

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 1.5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Paso 1.5.3.3.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Paso 1.5.3.3.3

Convierte de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ a $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Paso 1.5.3.3.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = \frac{π}{3}$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$\frac{\cot (y)}{2}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Paso 1.7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.7.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Paso 1.7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

Paso 1.7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.7.5

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{\sqrt{3}}{6}$ y un punto dado $(2, \frac{π}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $\frac{\sqrt{3}}{6}$ y $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{π}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

Paso 2.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

Paso 2.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $π$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

Paso 2.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

Paso 2.3.3.5

Reescribe $- (\sqrt{3} - π)$ como $- 1 (\sqrt{3} - π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

Paso 2.3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Paso 2.3.3.7

Reordena los términos.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Paso 3