Cálculo Ejemplos

$y = 6 \sin (π x - y)$ , $(- 1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 \sin (π x - y))$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin (π x - y)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x - y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x - y$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - y])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x - y$ .

$6 (\cos (π x - y) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Paso 1.3.3

Diferencia.

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Paso 1.3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $π x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$6 \cos (π x - y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 1.3.3.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (π x - y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cos (π x - y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$6 \cos (π x - y) (π + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 1.3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 \cos (π x - y) (π - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 \cos (π x - y) (π - y')$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 6 \cos (π x - y) (π - y')$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.1.1

Simplifica $6 \cos (π x - y) (π - y')$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 6 \cos (π x - y) π + 6 \cos (π x - y) (- y')$

Paso 1.5.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y' = 6 \cos (π x - y) π - 6 \cos (π x - y) y'$

Paso 1.5.1.1.2.2

Reordena los factores en $6 \cos (π x - y) π - 6 \cos (π x - y) y'$ .

$y' = 6 π \cos (π x - y) - 6 y' \cos (π x - y)$

Paso 1.5.2

Suma $6 y' \cos (π x - y)$ a ambos lados de la ecuación.

$y' + 6 y' \cos (π x - y) = 6 π \cos (π x - y)$

Paso 1.5.3

Factoriza $y'$ de $y' + 6 y' \cos (π x - y)$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 6 y' \cos (π x - y) = 6 π \cos (π x - y)$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y'$ de $6 y' \cos (π x - y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (6 \cos (π x - y)) = 6 π \cos (π x - y)$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (6 \cos (π x - y))$ .

$y' (1 + 6 \cos (π x - y)) = 6 π \cos (π x - y)$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y' (1 + 6 \cos (π x - y)) = 6 π \cos (π x - y)$ por $1 + 6 \cos (π x - y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y' (1 + 6 \cos (π x - y)) = 6 π \cos (π x - y)$ por $1 + 6 \cos (π x - y)$ .

$\frac{y' (1 + 6 \cos (π x - y))}{1 + 6 \cos (π x - y)} = \frac{6 π \cos (π x - y)}{1 + 6 \cos (π x - y)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $1 + 6 \cos (π x - y)$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 + 6 \cos (π x - y))}{1 + 6 \cos (π x - y)} = \frac{6 π \cos (π x - y)}{1 + 6 \cos (π x - y)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 π \cos (π x - y)}{1 + 6 \cos (π x - y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 π \cos (π x - y)}{1 + 6 \cos (π x - y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = - 1$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$\frac{6 π \cos (π (- 1) - y)}{1 + 6 \cos (π (- 1) - y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{6 π \cos (π (- 1) - (0))}{1 + 6 \cos (π (- 1) - (0))}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{6 π \cos (π \cdot - 1 + 0)}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{6 π \cos (- 1 \cdot π + 0)}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.2.2

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$\frac{6 π \cos (- π + 0)}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.3

Suma $- π$ y $0$ .

$\frac{6 π \cos (- π)}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{6 π (- \cos (0))}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{6 π (- 1 \cdot 1)}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 π \cdot - 1}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.3.7

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 π}{1 + 6 \cos (π \cdot - 1 - (0))}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{- 6 π}{1 + 6 \cos (- 1 \cdot π - (0))}$

Paso 1.7.4.2

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$\frac{- 6 π}{1 + 6 \cos (- π - (0))}$

Paso 1.7.4.3

Resta $0$ de $- π$ .

$\frac{- 6 π}{1 + 6 \cos (- π)}$

Paso 1.7.4.4

$\frac{- 6 π}{1 + 6 (- \cos (0))}$

Paso 1.7.4.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{- 6 π}{1 + 6 (- 1 \cdot 1)}$

Paso 1.7.4.6

Multiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.7.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 6 π}{1 + 6 \cdot - 1}$

Paso 1.7.4.6.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 π}{1 - 6}$

Paso 1.7.4.7

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{- 6 π}{- 5}$

Paso 1.7.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{6 π}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{6 π}{5}$ y un punto dado $(- 1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{6 π}{5} \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = \frac{6 π}{5} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = \frac{6 π}{5} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica $\frac{6 π}{5} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 π}{5} x + \frac{6 π}{5} \cdot 1$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{6 π}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{6 π x}{5} + \frac{6 π}{5} \cdot 1$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $\frac{6 π}{5}$ por $1$ .

$y = \frac{6 π x}{5} + \frac{6 π}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{6 π}{5} x + \frac{6 π}{5}$

Paso 3