Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 7)}^{2}$ , $[6, 9]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[6, 9]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{6}^{9} {(x - 7)}^{2} d x)$

Paso 5

Sea $u = x - 7$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 5.1.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 6 - 7$

Paso 5.3

Resta $7$ de $6$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 9 - 7$

Paso 5.5

Resta $7$ de $9$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $2$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Paso 7.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Paso 7.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Paso 7.2.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 7.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8 + 1}{3})$

Paso 7.2.7

Suma $8$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{9}{3})$

Paso 7.2.8

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 7.2.8.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

Paso 7.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

Paso 7.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

Paso 7.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3}{1})$

Paso 7.2.8.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (3)$

Paso 8

Resta $6$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Paso 9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1$

Paso 10