Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

Paso 5

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 5.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 5.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $e^{u}$ en $1$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Paso 7.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Paso 8.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Paso 9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Paso 10

Multiplica $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Paso 12

Combina $\frac{2}{π}$ y $e$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Paso 13

Multiplica $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Paso 13.1

Combina $\frac{2}{π}$ y $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Paso 14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Paso 15