Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 e^{x} d x)$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \int_{- 2}^{2} e^{x} d x)$

Paso 6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{x}]_{- 2}^{2}))$

Paso 7

Evalúa $e^{x}$ en $2$ y en $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - e^{- 2}))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - \frac{1}{e^{2}}))$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + 4 (- \frac{1}{e^{2}}))$

Paso 8.3

Multiplica $4 (- \frac{1}{e^{2}})$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - 4 \frac{1}{e^{2}})$

Paso 8.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + \frac{- 4}{e^{2}})$

Paso 8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Paso 9

Suma $2$ y $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Paso 10

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Paso 11

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.1

Factoriza $4$ de $4 e^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (e^{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Paso 12

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{e^{2}}$ al numerador.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{e^{2}}$

Paso 12.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{e^{2}}$

Paso 12.3

Cancela el factor común.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{e^{2}}$

Paso 12.4

Reescribe la expresión.

$A (x) = e^{2} + \frac{- 1}{e^{2}}$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$

Paso 14