Cálculo Ejemplos

$\sec^{6} (x)$

Paso 1

Escribe $\sec^{6} (x)$ como una función.

$f (x) = \sec^{6} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Reescribe $6$ como $4$ más $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Paso 4.2

Reescribe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 4.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Paso 4.4

Reescribe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Paso 7

Expande ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Paso 7.1

Reescribe ${(1 + u^{2})}^{2}$ como $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7.5

Reordena $u^{2}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7.7

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7.8

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 7.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 7.10

Suma $2$ y $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Paso 7.11

Suma $u^{2}$ y $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Paso 7.12

Reordena $2 u^{2}$ y $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Paso 7.13

Mueve $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sec^{6} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$