Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{50 x - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{50 x - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{50 x - x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{50 x - x^{2}} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $50 x - x^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $x$ de $50 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 50 - x^{2}}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 50 + x (- x)}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 50 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (50 - x)}$

Paso 4.1.1.4

Multiplica $x$ por $50 - x$ .

$\frac{1}{x (50 - x)}$

Paso 4.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{50 - x}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (50 - x)$ .

$\frac{1 (x (50 - x))}{x (50 - x)} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (50 - x))}{x (50 - x)} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (50 - x)}{50 - x} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $50 - x$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (50 - x)}{50 - x} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6.1.2

Divide $A (50 - x)$ por $1$ .

$1 = A (50 - x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 50 + A (- x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6.3

Mueve $50$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 50 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 50 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6.5

Cancela el factor común de $50 - x$ .

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Paso 4.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 50 A - A x + \frac{B (x (50 - x))}{50 - x}$

Paso 4.1.6.5.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = 50 A - A x + (B) (x)$

$1 = 50 A - A x + B x$

Paso 4.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = 50 A - x A + B x$

Paso 4.1.7.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = 50 A - x A + B x$

Paso 4.1.7.3

Mueve $50 A$ .

$1 = - x A + B x + 50 A$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 50 A$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 50 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 50 A$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 50 A$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe la ecuación como $50 A = 1$ .

$50 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.1.2

Divide cada término en $50 A = 1$ por $50$ y simplifica.

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Paso 4.3.1.2.1

Divide cada término en $50 A = 1$ por $50$ .

$\frac{50 A}{50} = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $50$ .

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Paso 4.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50 A}{50} = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{50}$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{50}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{50}) + B$

$A = \frac{1}{50}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Reescribe $- 1 (\frac{1}{50})$ como $- (\frac{1}{50})$ .

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

Paso 4.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{1}{50} + B$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{50} + B = 0$ .

$- \frac{1}{50} + B = 0$

$A = \frac{1}{50}$

Paso 4.3.3.2

Suma $\frac{1}{50}$ a ambos lados de la ecuación.

$B = \frac{1}{50}$

$A = \frac{1}{50}$

$B = \frac{1}{50}$

$A = \frac{1}{50}$

Paso 4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{1}{50} A = \frac{1}{50}$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{50}, A = \frac{1}{50}$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{50 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{50}}{x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{50} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{50}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{50 x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Paso 4.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{50 x} + \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50 - x}$

Paso 4.5.4

Multiplica $\frac{1}{50}$ por $\frac{1}{50 - x}$ .

$\int \frac{1}{50 x} + \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{50 x} d x + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{50}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{50}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{50} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{50}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{50}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int \frac{1}{50 - x} d x$

Paso 9

Sea $u = 50 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 50 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 9.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} (- (\ln (| u |) + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{1}{50} \ln (| x |) + \frac{1}{50} (- \ln (| u |)) + C$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{50}$ y $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{\ln (| u |)}{50} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $50 - x$ .

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{\ln (| 50 - x |)}{50} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{1}{50} \ln (| 50 - x |) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{50 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{1}{50} \ln (| 50 - x |) + C$