Cálculo Ejemplos

$x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 5.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 5.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Factoriza $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Paso 8

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 9

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 10.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 10.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 15.2

Simplifica.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$