Cálculo Ejemplos

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Paso 4.2

Expande $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 4.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 4.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 4.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Paso 4.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Paso 4.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 4.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 4.3.2

Reordena los factores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 4.3.3

Suma $\cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Paso 4.4

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 4.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 4.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.6.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Paso 4.6.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Paso 4.6.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Paso 7

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 8

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Paso 10

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$