Cálculo Ejemplos

$\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

Paso 1

Escribe $\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ como una función.

$f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

Paso 2

La función $F (θ)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (θ) = \int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)} d θ$

Paso 4

Reorganiza los términos.

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\tan^{2} (θ) + 1} d θ$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 6

Cancela el factor común de $\sec^{3} (θ)$ y $\sec^{2} (θ)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $\sec^{2} (θ)$ de $\sec^{3} (θ) \tan (θ)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec (θ) \tan (θ)}{1} d θ$

Paso 6.2.4

Divide $\sec (θ) \tan (θ)$ por $1$ .

$\int \sec (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 7

Como la derivada de $\sec (θ)$ es $\sec (θ) \tan (θ)$ , la integral de $\sec (θ) \tan (θ)$ es $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ .

$F (θ) =$ $\sec (θ) + C$