Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 4

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Paso 5

Sea $x = 4 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 4 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Paso 6.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.2

Factoriza $16$ de $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.3

Factoriza $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.4

Factoriza $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.6

Aplica la regla del producto a $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.7

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.8

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 6.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.9

Reescribe $4096 \cos^{6} (t)$ como ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $4 \cos (t)$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $4 \cos (t)$ de $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 8

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 9

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$