Cálculo Ejemplos

$\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 4

Factoriza $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Paso 6

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 7

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$