Cálculo Ejemplos

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $\sin (x) \tan^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 8

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 9

Simplifica $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

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Paso 9.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Paso 9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 9.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 9.4

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 9.5

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Paso 9.6

Separa las fracciones.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Paso 9.7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Paso 9.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 10

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Paso 11

Simplifica.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$