Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Paso 1

Escribe $\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ como una función.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{π}{4} x) d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Entonces $d u_{1} = \frac{π}{4} d x$ , de modo que $\frac{4}{π} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{4} x]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{π}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{4} x$ con respecto a $x$ es $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u_{1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{π}{4}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \frac{4}{π}) d u_{1}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{4}{π} d u_{1}$

Paso 5.3

Combina $\sin^{2} (u_{1})$ y $\frac{4}{π}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cdot 4}{π} d u_{1}$

Paso 5.4

Mueve $4$ a la izquierda de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{4}{π}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{4}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{4}{π} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (π)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{2}{π} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 13

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 13.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 13.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 14

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 16

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 17

Simplifica.

$\frac{2}{π} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 18.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Combina $\frac{π}{4}$ y $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Paso 19.1.2

Combina $\frac{π}{4}$ y $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{4})) + C$

Paso 19.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 (2)})) + C$

Paso 19.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 \cdot 2})) + C$

Paso 19.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Paso 19.1.4

Combina $\sin (\frac{π x}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{4} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 (2)} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 \cdot 2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 19.4.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Paso 19.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}$ al numerador.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Paso 19.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Paso 19.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} (- \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Paso 19.6

Combina $\frac{1}{π}$ y $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{π} + C$

Paso 20

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$

Paso 21

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$