Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 4.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.4

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

Paso 4.4.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 7.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$