Cálculo Ejemplos

$y = x^{3}$ , $y = x$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{0} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{3 \cdot 2} - {(x)}^{2}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$V = x^{6} - {(x)}^{2}$

$V = x^{6} - x^{2}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{- 1}^{0} x^{6} d x + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} x^{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{7}$ y $x^{7}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x^{2} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}))$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{x^{7}}{7}$ en $0$ y en $- 1$ .

$V = π ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $0$ y en $- 1$ .

$V = π (\frac{0^{7}}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (\frac{0}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $7$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $7$ de $0$ .

$V = π (\frac{7 (0)}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (0 - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$V = π (0 - \frac{- 1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (0 + 1 (\frac{1}{7}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.6

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.7

Suma $0$ y $\frac{1}{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Paso 8.2.3.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{- 1}{3}))$

Paso 8.2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

Paso 8.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + 1 (\frac{1}{3})))$

Paso 8.2.3.13

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

Paso 8.2.3.14

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{7} - \frac{1}{3})$

Paso 8.2.3.15

Para escribir $\frac{1}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 8.2.3.16

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Paso 8.2.3.17

Escribe cada expresión con un denominador común de $21$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.17.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{7 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Paso 8.2.3.17.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Paso 8.2.3.17.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{3 \cdot 7})$

Paso 8.2.3.17.4

Multiplica $3$ por $7$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{21})$

Paso 8.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{3 - 7}{21})$

Paso 8.2.3.19

Resta $7$ de $3$ .

$V = π (\frac{- 4}{21})$

Paso 8.2.3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (- \frac{4}{21})$

Paso 8.2.3.21

Combina $π$ y $\frac{4}{21}$ .

$V = - \frac{π \cdot 4}{21}$

Paso 8.2.3.22

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$V = - \frac{4 π}{21}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = - \frac{4 π}{21}$

Forma decimal:

$V = - 0.59839860 \dots$

Paso 10