Cálculo Ejemplos

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = x + 1$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

Paso 2.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Paso 2.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ y $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $7$ y en $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3} + x$ en $7$ y en $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.5

Suma $\frac{49}{2}$ y $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.6

Combina $2$ y $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.7

Multiplica $2$ por $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.8

Cancela el factor común de $98$ y $2$ .

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Paso 10.2.3.8.1

Factoriza $2$ de $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.8.2.4

Divide $49$ por $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.9

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.10

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.11

Combina $7$ y $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.13.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.13.2

Suma $343$ y $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.14

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.15

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 10.2.3.15.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Paso 10.2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.15.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Paso 10.2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Paso 10.2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Paso 10.2.3.15.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Paso 10.2.3.16

Suma $0$ y $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Paso 10.2.3.17

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Paso 10.2.3.18

Suma $\frac{364}{3}$ y $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Paso 10.2.3.19

Para escribir $49$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Paso 10.2.3.20

Combina $49$ y $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Paso 10.2.3.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Paso 10.2.3.22

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.22.1

Multiplica $49$ por $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Paso 10.2.3.22.2

Suma $147$ y $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Paso 10.2.3.23

Combina $π$ y $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Paso 10.2.3.24

Mueve $511$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{511 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 535.11794866 \dots$

Paso 12