Cálculo Ejemplos

$f (x) = 100 x (2 x + 3) (x - 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 x (2 x + 3) (x - 5)$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [(x (2 x + 3)) (x - 5)]$ .

$100 \frac{d}{d x} [(x (2 x + 3)) (x - 5)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (2 x + 3)$ y $g (x) = x - 5$ .

$100 (x (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$100 (x (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 (x (2 x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Paso 1.1.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$100 (x (2 x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$100 (x (2 x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x \frac{d}{d x} [2 x + 3] + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.5.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (2 \cdot x + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (2 x + (2 x + 3) \cdot 1))$

Paso 1.1.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.5.8.1

Multiplica $2 x + 3$ por $1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (2 x + 2 x + 3))$

Paso 1.1.5.8.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (4 x + 3))$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1