Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 + \sqrt{2 x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 + \sqrt{2 x - 1}$ como una ecuación.

$y = 3 + \sqrt{2 x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 + \sqrt{2 y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 + \sqrt{2 y - 1} = x$ .

$3 + \sqrt{2 y - 1} = x$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 y - 1} = x - 3$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 y - 1}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y - 1}$ como ${(2 y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(2 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$2 y - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$2 y - 1 = (x - 3) (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 1 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y - 1 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$2 y - 1 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$2 y - 1 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$2 y - 1 = x^{2} - 6 x + 9$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = x^{2} - 6 x + 9 + 1$

Paso 3.5.1.2

Suma $9$ y $1$ .

$2 y = x^{2} - 6 x + 10$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 y = x^{2} - 6 x + 10$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 y = x^{2} - 6 x + 10$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.4

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{10}{2}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Divide $10$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5$ es la inversa de $f (x) = 3 + \sqrt{2 x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{{(3 + \sqrt{2 x - 1})}^{2}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(3 + \sqrt{2 x - 1})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{2 x - 1}) (3 + \sqrt{2 x - 1})$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{(3 + \sqrt{2 x - 1}) (3 + \sqrt{2 x - 1})}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.2

Expande $(3 + \sqrt{2 x - 1}) (3 + \sqrt{2 x - 1})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + \sqrt{2 x - 1} (3 + \sqrt{2 x - 1})}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} (3 + \sqrt{2 x - 1})}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} \cdot 3 + \sqrt{2 x - 1} \sqrt{2 x - 1}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} \cdot 3 + \sqrt{2 x - 1} \sqrt{2 x - 1}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} \sqrt{2 x - 1}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.3

Multiplica $\sqrt{2 x - 1} \sqrt{2 x - 1}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{2 x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} \sqrt{2 x - 1}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + {\sqrt{2 x - 1}}^{1 + 1}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + {\sqrt{2 x - 1}}^{2}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{2 x - 1}}^{2}$ como $2 x - 1$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - 1}$ como ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + {(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + {(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + 2 x - 1}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.1.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{9 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + 2 x - 1}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.2

Resta $1$ de $9$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{8 + 3 \sqrt{2 x - 1} + 3 \sqrt{2 x - 1} + 2 x}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.3.3

Suma $3 \sqrt{2 x - 1}$ y $3 \sqrt{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{8 + 6 \sqrt{2 x - 1} + 2 x}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $8 + 6 \sqrt{2 x - 1} + 2 x$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 \cdot 4 + 6 \sqrt{2 x - 1} + 2 x}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.2

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 \cdot 4 + 2 (3 \sqrt{2 x - 1}) + 2 x}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (4) + 2 (3 \sqrt{2 x - 1})$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 (4 + 3 \sqrt{2 x - 1}) + 2 x}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.4

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 (4 + 3 \sqrt{2 x - 1}) + 2 (x)}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.5

Factoriza $2$ de $2 (4 + 3 \sqrt{2 x - 1}) + 2 (x)$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 (4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x)}{2} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 (4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x)}{2 (1)} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{2 (4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x)}{2 \cdot 1} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = \frac{4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x}{1} - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.4.6.4

Divide $4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = 4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x - 3 (3 + \sqrt{2 x - 1}) + 5$

Paso 5.2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = 4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x - 3 \cdot 3 - 3 \sqrt{2 x - 1} + 5$

Paso 5.2.3.6

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = 4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x - 9 - 3 \sqrt{2 x - 1} + 5$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $4 + 3 \sqrt{2 x - 1} + x - 9 - 3 \sqrt{2 x - 1} + 5$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $3 \sqrt{2 x - 1}$ de $3 \sqrt{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = 4 + x - 9 + 0 + 5$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $4 + x - 9$ y $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = 4 + x - 9 + 5$

Paso 5.2.4.2

Resta $9$ de $4$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = x - 5 + 5$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{2 x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 5 - 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 5 - 1}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 5 - 1}$

Paso 5.3.3.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 2 \cdot 5 - 1}$

Paso 5.3.3.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10 - 1}$

Paso 5.3.3.3

Resta $1$ de $10$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Paso 5.3.3.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe el polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Paso 5.3.3.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = 3 + x - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $3 + x - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5$ es la inversa de $f (x) = 3 + \sqrt{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 5$