Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{3}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 (3 x^{2})$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $3$ por $10$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $30 x^{2}$ de $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $30 x^{2}$ de $30 x^{4}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $30 x^{2}$ de $- 60 x^{3}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $30 x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $30 x^{2}$ de $30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $30 x^{2}$ de $30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$30 x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 1$ .

$0, 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 1) = 30 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $30$ por $1$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 60$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 \cdot 1$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $30$ por $1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $30$ y $60$ .

$f' (- 1) = 90 + 30$

Paso 5.2.2.2

Suma $90$ y $30$ .

$f' (- 1) = 120$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $120$ .

$120$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $120$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 {(\frac{1}{2})}^{4} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (15) (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{8}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Combina $15$ y $\frac{1}{8}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.9.1

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 (- 15) (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 15 (\frac{1}{2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.10

Combina $- 15$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{4})$

Paso 6.2.1.15

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.15.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 (15) (\frac{1}{4})$

Paso 6.2.1.15.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.2.1.15.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.2.1.15.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 15 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.16

Combina $15$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15 + 15}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Suma $- 15$ y $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{0}{2}$

Paso 6.2.2.2.2

Divide $0$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 0$

Paso 6.2.2.2.3

Suma $\frac{15}{8}$ y $0$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Paso 6.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{15}{8}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 1)$ .

Incremento en $(0, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 30 {(2)}^{4} - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = 30 \cdot 16 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $30$ por $16$ .

$f' (2) = 480 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 480 - 60 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 60$ por $8$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 {(2)}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 \cdot 4$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $30$ por $4$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 120$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $480$ de $480$ .

$f' (2) = 0 + 120$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $120$ .

$f' (2) = 120$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $120$ .

$120$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $120$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (0, 1), (1, \infty)$

Paso 9