Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 36 \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 36 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 36 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 36 \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.3

Combina $- 36$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 36}{x}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 4 x - \frac{36}{x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x - \frac{36}{x}$ .

$4 x - \frac{36}{x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x - \frac{36}{x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x - \frac{36}{x} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $4 x - \frac{36}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $4 x - \frac{36}{x} = 0$ por $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{36}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{36}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - \frac{36}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{36}{x}$ al numerador.

$4 x^{2} + \frac{- 36}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 x^{2} + \frac{- 36}{x} x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{2} - 36 = 0 x$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$4 x^{2} - 36 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = 36$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $4 x^{2} = 36$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 36$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{4}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $36$ por $4$ .

$x^{2} = 9$

Paso 2.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 2.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 2.4.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 2.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 2.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $3, - 3$ .

$3, - 3$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{36}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Paso 7.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{- 3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Paso 7.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- 3}{2})) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Paso 7.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot - 3 - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (36 (- \frac{2}{3}))$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (36 (\frac{- 2}{3}))$

Paso 7.2.1.4.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (3 (12) (\frac{- 2}{3}))$

Paso 7.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (3 \cdot (12 (\frac{- 2}{3})))$

Paso 7.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (12 \cdot - 2)$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 + 24$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 + 24$

Paso 7.2.2

Suma $- 6$ y $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 18$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $18$ .

$18$

Paso 8

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, 3)$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Paso 9.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (36 (\frac{2}{3}))$

Paso 9.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (3 (12) (\frac{2}{3}))$

Paso 9.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (3 \cdot (12 (\frac{2}{3})))$

Paso 9.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (12 \cdot 2)$

Paso 9.2.1.5

Multiplica $12$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - 1 \cdot 24$

Paso 9.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - 24$

Paso 9.2.2

Resta $24$ de $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 18$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 18$ .

$- 18$

Paso 9.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $- 18$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, 3), (3, \infty)$

Paso 11

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 4 (4) - \frac{36}{4}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (4) = 16 - \frac{36}{4}$

Paso 11.2.1.2

Divide $36$ por $4$ .

$f' (4) = 16 - 1 \cdot 9$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f' (4) = 16 - 9$

Paso 11.2.2

Resta $9$ de $16$ .

$f' (4) = 7$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 11.3

En $x = 4$ la derivada es $7$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 12

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(3, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 3)$

Paso 13