Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{2} - 25}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 25}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 25}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 25}$ como ${(x^{2} - 25)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 25$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 25$ .

$2 (- {(x^{2} - 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{2} - 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Paso 1.1.3.4

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 25)}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Paso 1.1.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Paso 1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Paso 1.1.5.3

Combina $x$ y $\frac{4}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 1.1.5.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 25)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

${(x^{2} - 5^{2})}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

${((x + 5) (x - 5))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 5) (x - 5)$ .

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x + 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.2.4

Establece ${(x - 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Establece ${(x - 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve ${(x - 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 5, 5$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = - \frac{4 (- 6)}{{({(- 6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{{({(- 6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{{(36 - 25)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $25$ de $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{11^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{121}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 6) = \frac{24}{121}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{24}{121}$ .

$\frac{24}{121}$

Paso 6.3

En $x = - 6$ la derivada es $\frac{24}{121}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 5)$ .

Incremento en $(- \infty, - 5)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{4 (- \frac{5}{2})}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 4 (\frac{5}{2})}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25)}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Para escribir $- 25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Combina $- 25$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.9.1

Multiplica $- 25$ por $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 100}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9.2

Resta $100$ de $25$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 75}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{75}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.11

Aplica la regla del producto a $- \frac{75}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.13

Aplica la regla del producto a $\frac{75}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{75^{2}}{4^{2}})}$

Paso 7.2.2.14

Eleva $75$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{4^{2}})}$

Paso 7.2.2.15

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{16})}$

Paso 7.2.2.16

Multiplica $\frac{5625}{16}$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 20}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Paso 7.2.3.2

Divide $- 20$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 10}{\frac{5625}{16}}$

Paso 7.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 10 (\frac{16}{5625}))$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 (- 2) (\frac{16}{5625}))$

Paso 7.2.5.2

Factoriza $5$ de $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 \cdot (- 2 \frac{16}{5 \cdot 1125}))$

Paso 7.2.5.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 \cdot (- 2 \frac{16}{5 \cdot 1125}))$

Paso 7.2.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 2 (\frac{16}{1125}))$

Paso 7.2.6

Combina $- 2$ y $\frac{16}{1125}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 2 \cdot 16}{1125}$

Paso 7.2.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.7.1

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 32}{1125}$

Paso 7.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{32}{1125}$

Paso 7.2.8

La respuesta final es $\frac{32}{1125}$ .

$\frac{32}{1125}$

Paso 7.3

En $x = - \frac{5}{2}$ la derivada es $\frac{32}{1125}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 5, 0)$ .

Incremento en $(- 5, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{4 (\frac{5}{2})}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Combina $4$ y $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Para escribir $- 25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Combina $- 25$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.7.1

Multiplica $- 25$ por $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 100}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7.2

Resta $100$ de $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 75}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{75}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.9

Aplica la regla del producto a $- \frac{75}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.11

Aplica la regla del producto a $\frac{75}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{75^{2}}{4^{2}})}$

Paso 8.2.2.12

Eleva $75$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{4^{2}})}$

Paso 8.2.2.13

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{16})}$

Paso 8.2.2.14

Multiplica $\frac{5625}{16}$ por $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{20}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Paso 8.2.3.2

Divide $20$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{10}{\frac{5625}{16}}$

Paso 8.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{5}{2}) = - (10 (\frac{16}{5625}))$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 (2) (\frac{16}{5625}))$

Paso 8.2.5.2

Factoriza $5$ de $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 \cdot (2 (\frac{16}{5 \cdot 1125})))$

Paso 8.2.5.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 \cdot (2 (\frac{16}{5 \cdot 1125})))$

Paso 8.2.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = - (2 (\frac{16}{1125}))$

Paso 8.2.6

Combina $2$ y $\frac{16}{1125}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{2 \cdot 16}{1125}$

Paso 8.2.7

Multiplica $2$ por $16$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{32}{1125}$

Paso 8.2.8

La respuesta final es $- \frac{32}{1125}$ .

$- \frac{32}{1125}$

Paso 8.3

En $x = \frac{5}{2}$ la derivada es $- \frac{32}{1125}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 5)$ .

Decrecimiento en $(0, 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - \frac{4 (6)}{{({(6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$f' (6) = - \frac{24}{{(6^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = - \frac{24}{{(36 - 25)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $25$ de $36$ .

$f' (6) = - \frac{24}{11^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = - \frac{24}{121}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- \frac{24}{121}$ .

$- \frac{24}{121}$

Paso 9.3

En $x = 6$ la derivada es $- \frac{24}{121}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(5, \infty)$ .

Decrecimiento en $(5, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Decrecimiento en: $(0, 5), (5, \infty)$

Paso 11