Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.3.5

Multiplica.

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Paso 1.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.1.1

Combina $2$ y $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Paso 1.1.5.1.2

Combina $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(- x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 1$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

${(- (x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

${(- (x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 1)$ .

${(- (x^{2} - 1))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

${(- (x^{2} - 1^{2}))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza.

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Paso 4.2.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

${(- ((x + 1) (x - 1)))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(- (x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4

Aplica la regla del producto a $- (x + 1) (x - 1)$ .

${(- (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.5

Aplica la regla del producto a $- (x + 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.2.4

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.4.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{{(- {(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- {(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 1 \cdot 4 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 4 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{9}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{4}{9}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{4}{9}$ .

$- \frac{4}{9}$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{4}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 (- \frac{1}{2})}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 (\frac{1}{2})}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 7.2.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{3} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(\frac{- 1 + 4}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Suma $- 1$ y $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Paso 7.2.2.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{9}{4^{2}}}$

Paso 7.2.2.11

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{9}{16}}$

Paso 7.2.3

Divide $- 2$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{\frac{9}{16}}$

Paso 7.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{16}{9}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Paso 7.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{16}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2})}{{(- {(\frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- {(\frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(\frac{- 1 + 4}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Suma $- 1$ y $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Paso 8.2.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{9}{4^{2}}}$

Paso 8.2.2.9

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{9}{16}}$

Paso 8.2.3

Divide $2$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{9}{16}}$

Paso 8.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 (\frac{16}{9})$

Paso 8.2.5

Multiplica $\frac{16}{9}$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{16}{9}$

Paso 8.2.6

La respuesta final es $\frac{16}{9}$ .

$\frac{16}{9}$

Paso 8.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{16}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 1)$ .

Incremento en $(0, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{2 (2)}{{(- {(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 2^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 1 \cdot 4 + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 4 + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{9}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Paso 9.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{4}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 1), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Paso 11