Cálculo Ejemplos

$F (t) = 185 - \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $185 - \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [185] + \frac{d}{d t} [- \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}]$ .

$\frac{d}{d t} [185] + \frac{d}{d t} [- \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}]$

Paso 1.1.1.2

Como $185$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $185$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 124$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}$ con respecto a $t$ es $- 124 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 45}]$ .

$0 - 124 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 45}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t^{2} + 45$ .

$0 - 124 \frac{(t^{2} + 45) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 45]}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 124 \frac{(t^{2} + 45) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 45]}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 45$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [45]$ .

$0 - 124 \frac{(t^{2} + 45) (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [45])}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 124 \frac{(t^{2} + 45) (2 t) - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [45])}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Como $45$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $45$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - 124 \frac{(t^{2} + 45) (2 t) - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{2} + 45$ .

$0 - 124 \frac{2 \cdot (t^{2} + 45) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Suma $2 t$ y $0$ .

$0 - 124 \frac{2 (t^{2} + 45) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 124 \frac{2 (t^{2} + 45) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$0 - 124 \frac{2 (t^{2} + 45) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - 124 \frac{2 (t^{2} + 45) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.12

Suma $1$ y $2$ .

$0 - 124 \frac{2 (t^{2} + 45) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.13

Combina $- 124$ y $\frac{2 (t^{2} + 45) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 124 (2 (t^{2} + 45) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{124 (2 (t^{2} + 45) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{124 ((2 t^{2} + 2 \cdot 45) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{124 (2 t^{2} t + 2 \cdot 45 t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{124 (2 t^{2} t) + 124 (2 \cdot 45 t) + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.4.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$0 - \frac{124 (2 (t^{1} t^{2})) + 124 (2 \cdot 45 t) + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - \frac{124 (2 t^{1 + 2}) + 124 (2 \cdot 45 t) + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$0 - \frac{124 (2 t^{3}) + 124 (2 \cdot 45 t) + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.4

Multiplica $2$ por $124$ .

$0 - \frac{248 t^{3} + 124 (2 \cdot 45 t) + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.5

Multiplica $2$ por $45$ .

$0 - \frac{248 t^{3} + 124 (90 t) + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.6

Multiplica $90$ por $124$ .

$0 - \frac{248 t^{3} + 11160 t + 124 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.7

Multiplica $- 2$ por $124$ .

$0 - \frac{248 t^{3} + 11160 t - 248 t^{3}}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.8

Resta $248 t^{3}$ de $248 t^{3}$ .

$0 - \frac{11160 t + 0}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.9

Suma $11160 t$ y $0$ .

$0 - \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.10

Resta $\frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$ de $0$ .

$f' (t) = - \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $F (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$ .

$- \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$11160 t = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $11160 t = 0$ por $11160$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $11160 t = 0$ por $11160$ .

$\frac{11160 t}{11160} = \frac{0}{11160}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $11160$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11160 t}{11160} = \frac{0}{11160}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{11160}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $11160$ .

$t = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $F' (t) = - \frac{11160 t}{{(t^{2} + 45)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $F (t) = 185 - \frac{124 t^{2}}{t^{2} + 45}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 1$ en la expresión.

$F' (- 1) = - \frac{11160 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $11160$ por $- 1$ .

$F' (- 1) = - \frac{- 11160}{{({(- 1)}^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$F' (- 1) = - \frac{- 11160}{{(1 + 45)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $1$ y $45$ .

$F' (- 1) = - \frac{- 11160}{46^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $46$ a la potencia de $2$ .

$F' (- 1) = - \frac{- 11160}{2116}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 11160$ y $2116$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 11160$ .

$F' (- 1) = - \frac{4 (- 2790)}{2116}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $2116$ .

$F' (- 1) = - \frac{4 \cdot - 2790}{4 \cdot 529}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$F' (- 1) = - \frac{4 \cdot - 2790}{4 \cdot 529}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$F' (- 1) = - \frac{- 2790}{529}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$F' (- 1) = \frac{2790}{529}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{2790}{529}$ .

$\frac{2790}{529}$

Paso 5.3

En $t = - 1$ la derivada es $\frac{2790}{529}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $F' (t) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $t$ con $1$ en la expresión.

$F' (1) = - \frac{11160 (1)}{{({(1)}^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $11160$ por $1$ .

$F' (1) = - \frac{11160}{{(1^{2} + 45)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$F' (1) = - \frac{11160}{{(1 + 45)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1$ y $45$ .

$F' (1) = - \frac{11160}{46^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $46$ a la potencia de $2$ .

$F' (1) = - \frac{11160}{2116}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $11160$ y $2116$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $4$ de $11160$ .

$F' (1) = - \frac{4 (2790)}{2116}$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $2116$ .

$F' (1) = - \frac{4 \cdot 2790}{4 \cdot 529}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$F' (1) = - \frac{4 \cdot 2790}{4 \cdot 529}$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$F' (1) = - \frac{2790}{529}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{2790}{529}$ .

$- \frac{2790}{529}$

Paso 6.3

En $t = 1$ la derivada es $- \frac{2790}{529}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $F' (t) < 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \infty)$

Paso 8