Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Paso 1.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Paso 3.5.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)}$

Paso 3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)}$

Paso 3.10

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2}{x^{2} + 1} x}$

Paso 3.11

Combina $\frac{2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} 4 \frac{x^{2} + 1}{2 x}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $4$ y $\frac{x^{2} + 1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} + 1)}{2 x}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $4 (x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 (x)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} + 1)}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.2.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{1}$

Paso 6.4

Divide $4 x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x$

Paso 7

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\infty$