Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$

Paso 1

Reescribe $x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$ como $\frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Paso 2.1.2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{1}{2 x^{3}})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.5

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} (- 3 x^{- 4})}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.8

Combina $- 3$ y $\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} x^{- 4}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ y $x^{- 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{- 4}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.10

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Paso 2.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 x^{- 4}}$

Paso 2.3.13

Simplifica.

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Paso 2.3.13.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Paso 2.3.13.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Paso 2.3.13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} (- \frac{x^{4}}{3})$

Paso 2.5

Combina factores.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \frac{x^{4}}{3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{3}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ por $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4} \cdot 3}$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{6 x^{4}}$

Paso 2.6

Reduce.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $3$ de $3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{6 x^{4}}$

Paso 2.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1.2.1

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Paso 2.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Paso 2.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Paso 2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{2 x^{3}})$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})$

Paso 3.3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$